El azar y el orden de los primos

A veces me pasa. Bastante gente no conoce mi sentido del humor y no pillan mis bromas. Que se le va a hacer!! también hay gente que no le hacen ninguna gracia Faemino y Cansado o los Monthy Python (para compensar a mi no me hace ninguna los Morancos).

Lo digo porque he estado dando esta respuesta a la gente que me preguntaba como me iba con 42 años:

"Sinceramente prefiero los 41, porque es primo. 42 es par y más aburrido. Pero estoy tranquilo porque el año que viene son 43, otro primo"

(claro que dicho así no hace ninguna gracia, pero tampoco gana mucho cuando la digo de palabra. Ya os advertí de mi sentido del humor).

Olantzero (que sí pilla mis bromas) prefiere los pares que los primos. Nada que decir, sobre gustos ya se sabe. Pero yo prefiero los número primos. Y por qué?

Aha!! me encanta que me hagan esa pregunta. Los números primos son un fascinante misterio matemático. A ver si soy capaz de explicarlo.

Recordareis la definición de un primo: es un número divisible sólo por el 1 y por si mismo. El 7 es primo porque sólo es divisible por el 1 y el mismo 7, a diferencia del 6 que se puede dividir por los números 1, 2,3 y 6. Pero ¿que significa eso en realidad? Vamos a verlo. Coged 6 monedas y probar cuantas distribuciones de un rectángulopodéis hacer con ellas. Algo así:

Pero si coges 7 monedas no podrás hacer más que esto:

No se pueden formar rectángulos con un número primo de monedas, por muchas que toméis. Por eso son curiosos los números primos.

Esta extraña característica de los primos, su indivisibilidad con otros números diferentes que no sean ellos mismos, se conoce de muy antiguo. La primera vez que aparecen los números primos seriados es en un hueso de babuino llamado Hueso de Ishango, de hace 8.000 años y encontrado entre Uganda y el Congo. En él donde aparecen unas marcas en estas secuencias:11, 13, 17, 19. Es decir los números primos que hay entre el 10 y el 20.

Hueso de Ishango y las marcas
que indican números primos

Ahora vamos a jugar con los números. Mediante ordenadores se ha comprobado que los pares mayores que 2 e inferiores a 400.000.000.000.000 pueden hacerse mediante la suma de dos números primos. Ejemplos:

6=3+3
8= 3+5
10= 3+7
12= 5+7
14= 3+11

La Conjetura de Goldbach es esa precisamente: todo número par mayor que 2 puede expresarse mediante la suma de dos números primos. Fue formulada en 1742 y aún no ha sido demostrada matemáticamente. Y mientras no se alcanza la demostración se está comprobando experimentalmente mediante ordenadores y no se ha encontrado un par que no cumpla ser suma de dos primos. Parece un capricho de los números.

Y solo eso? direis.

Pues no. Que os parece si os digo que en realidad TODOS los números, sin dejarse ni uno, pueden crearse a partir de números primos? Por ejemplo, el 42 se puede formar multiplicando 2, 3 y 7.

42=2 x 3 x 7
(2, 3 y 7 son primos)

Más ejemplos:

292=2 x 2 x 73
(73 es primo)

968= 2 x 2 x 2 x 11 x 11
(11 es primo)

Podéis consultar la lista de los números del 1 a 1000 aquí. Y esto SI que está comprobado matemáticamente. Es el llamado Teorema Fundamental de la Aritmética (demostrado por Euclides)

Es decir que los números primos son los ladrillos con los que se construyen TODOS los números, sin dejarse ni uno. Los primos son para la matemática como los elementos de la tabla periódica para la química.

A los matemáticos les encantan los números. Y no paran en buscar patrones en ellos. Os podéis imaginar que los primos han sido objeto de atención. Y aquí es donde viene el misterio. Vamos a verlo contando del 1 al 20 poniendo en negrita a los números primos:

1, 2, 3, 4, 5, 6,7, 8, 9, 10, 11, 12, 13, 14, 15, 16, 17, 18, 19, 20

(el 1 no se considera primo, mira por donde)

Parecen puestos al azar. El 2 y el 3 están juntos pero entre el 13 y el 17 hay tres números que los separan. Y si seguimos contando, este comportamiento azaroso se agrava. El 1637 es primo y es siguiente primo se encuentra a 20 números. Pero más tarde encontramos dos primos casi juntitos, 1721 y 1723. Podéis comprobarlo aquí en lista de los primeros 8.000 números primos.

Parece una locura. Los números más fundamentales, los ladrillos que forman a todos el resto de números, se encuentran distribuidos sin ton ni son, como si hubiera sufrido un tornado el edificio en obras de las matemáticas. Y eso a los matemáticos no les gusta.

A principios del siglo XIX dos matemáticos empezaron a ver un orden en el caos de los primos, Gauss y Legendre. Y lo hicieron contando los números primos que había entre el resto de los números. Me explico, si nos ponemos podemos contar que:

• Entre el 1 y el 10 hay 4 números primos y su proporción (10/4) es 2,5.
• Entre e1 1 y el 100 hay 25 números primos y su proporción (100/25) es 4.
• Entre e1 1 y el 1.000 hay 168 números primos y su proporción (1.000/168) es 6.
• Entre e1 1 y el 10.000 hay 1.229 números primos y su proporción (10.000/1.229) es 8,1.
• Entre e1 1 y el 100.000 hay 9.592 números primos y su proporción (100.000/9.592) es 10,4.
• Entre e1 1 y el 1.000.000 hay 78.498 números primos y su proporción (1.000.000/78.498) es 12,7.
• Entre e1 1 y el 10.000.000 hay 664.579 números primos y su proporción (10.000.000/664.579) es 15,0.

• ...

Bufff cuanto número. Bueno, tranquis, lo resumo. Cuanto más crece el total de números donde buscamos, también crece la cantidad de números primos que encontramos pero, aquí viene lo importante, no lo hace al mismo ritmo. Y a que ritmo lo hace? pues si aumentamos en 10 en número total de números, la proporción con los primos crece 2,3 (a partir de 10.000).Fijaos:

Total números ............................Proporción de primos
10.000 .................................. 8,1
100.000 ................................. 10,4
1.000.000.................................. 12,7
10.000.000.................................. 15,0

...

Toma ya! Existe cierto orden el el azar de los números primos. Es cierto que no se puede saber cuando aparecerá un primo pero al menos se pueden contar, y preveer, cuantos hay entre una cantidad determinada de números. Algo es algo.

Gauss, sin campana

Gauss propuso que el total de números primos en una cantidad dada se aproximaba al número resultante de dividir en número total de números por el logaritmo natural de ese número (un logaritmo es una forma de contar las cifras que tiene un número. El logaritmo de 1000 es 3.El de 10.000 es 4. Logaritmo natural es una clase especial de logaritmos).

No era mala la aproximación. Pero a medida que en número total de números aumenta, el error de la estimación también aumentaba. Cada vez había más números primos entre el total de números que los que estimaba la fórmula de Gauss.

Legendre

Legendre propuso otra aproximación, muy parecida. Se trata de restar en el divisor un número algo raro: 1.08366. Pero era mejor que la de Gauss.

Gauss posteriormente mejoró su estimación (era un gran genio matemático) y dejo el camino para que un alumno suyo, Bernhard Riemann avanzara en la cuestión unos 50 años después con su Hipótesis de Riemann de la función zeta donde volvía a aparecer un orden mucho más estricto en los primos. Pero esa es otra película que aún no ha acabado. La hipótesis deRiemann está sin demostrar desde entonces a pesar de los numerosos asaltos matemáticos.

Ya veis que los números primos son muy interesantes. Si los miramos de cerca parecen estar repartidos al azar entre los números. Pero desde lejos parece un bosque muy ordenado. Es esa dualidad la que me parece más significativa y misteriosa.

Por eso me gustan los primos. Y también porque mi peña de amigos del pueblo se llama "El 13" y mi dorsal en el equipo de rugby de Cornellà era también el 13. Primo.

Ala, espero haber convencido a Olantzero. Aunque no se si habrá entendido algo. Es otra de las cosas que a veces me pasa.

SALUT I PRIMS!

PD: Y cuando hablo de primos no me refiero de ninguna forma a Rajoy y sus opiniones sobre el cambio climático. O igual si que me refiero: