Hanc marginis exigitas non caperet

(ATENCION: Esta entrada tiene matemáticas. Incluso latín. No os desaniméis)

Ken Ribet, prestigioso matemático americano, dio una charla durante unas jornadas internacionales de matemáticas en Cambridge el 24 de junio de 1993. A pesar del nivel del conferenciante y de la audiencia (matemáticos de nivel mundial) ocurrió que -con sus propias palabras- “di la charla, la gente tomó notas, aplaudió y ninguno de los presentes, incluyéndome a mi, tiene ni idea de lo que dije en esa conferencia”.

Nadie de los asistentes a la sala podía recordar de que habló Ribet porque estaban conmocionados. Acababan de presenciar en la conferencia anterior un hito histórico. Acababan de escuchar la tercera y última conferencia de Andrew Wiles donde demostraba, tras 350 años, el llamado Último Teorema de Fermat (La demostración fue posteriormente corregida tras detectar un pequeño pero poderoso error).

Tranquilos, no perdáis la paciencia. Aunque este problema había traído de cabeza a los matemáticos durante más de tres siglos es sencillo de entender.

Está basado en el Teorema de Pitágoras, el de los triángulos rectángulos (recordad que son aquellos que tienen un ángulo recto o de 90º). Dice que el cuadrado de la hipotenusa (el lado más largo) es igual a la suma del cuadrado de sus catetos (los dos lados más cortos). Escrito como una fórmula es así:

a²+b²=c²

Pitágoras demostró hace 2.500 años que esta ley se cumple siempre. Todos los triángulos rectángulos tienen esta relación entre sus lados. O dicho de otra forma, esta fórmula tiene siempre una solución.

Ocurrió que hace unos 350 años, un alto funcionario francés de Toulouse llamado Pierre de Fermat, que aprovechaba todo el tiempo posible al estudio de los números, anotó en el margen de un libro de matemáticas y junto al teorema de Pitágoras(el libro era “Aritmética” de Diofante, una especie de enciclopedia sobre los conocimientos de la época), algo que ha mantenido en jaque a los mayores genios de la humanidad durante más de 3 siglos.

Este funcionario, Fermat, había ganado fama entre sus contemporáneos (entre otros a Descartes y Pascal) de tener una mente privilegiada, dotada y lúcida para los problemas matemáticos. En vida desarrolló áreas nuevas de las matemáticas como la geometría analítica o la probabilidad. Además era muy desordenado y algo gamberro. Cuando falleció Fermat, su hijo publicó el libro Aritmética con todas las anotaciones realizadas por su padre. Junto al teorema de Pitágoras había anotado:

“Cubum autem in duos cubos, aut quadrato-quadratum in duos quadrato-quadratos, et generaliter nullam in infinitum ultra quadratum potestatem in duos eiusdem nominis fas est dividere cuius rei demonstrationem mirabilem sane detexi. Hanc marginis exigitas non caperet.”

Que el Wikipedia traduce así:

Es imposible dividir un cubo en suma de dos cubos, o un bicuadrado en suma de dos bicuadrados, o en general, cualquier potencia superior a dos en dos potencias del mismo grado;he descubierto una demostración maravillosa de esta afirmación.
Pero este margen es demasiado angosto para contenerla

¿Que significa en realidad este texto enrevesado?

Pierre de Fermat había estado jugando con Pitágoras y pensó sobre que ocurriría si en lugar de elevar al cuadrado los lados del triangulo los elevaba al cubo. O dicho más sencillo cambiar el 2 por el 3. Así la fórmula del teorema de Pitagoras quedaba así:

a³+b³=c³

Y se preguntó ¿hay valores de a, b y c que cumplan la igualdad? ¿y si el 3 lo cambiamos por un 4? ¿y por otro número? La forma matemática de plantearlo es así:

aⁿ+bⁿ=cⁿ

Y “n” puede ser cualquier número natural, el que quieras. El 29 o el 12.000.000.004. Cualquiera.

Fermat, en el margen del libro, decía que no existían valores para a, b y c de entre todos los números si "n" tiene un valor mayor de 2 (si n=2 entonces queda el Teorema de Pitágoras que, recordemos, siempre tiene solución: los lados del triángulo). Si n es mayor que 2 entonces nunca habrá solución para la fórmula.

Y además decía que lo había demostrado de una forma maravillosa pero que no había espacio para escribirla (Hanc marginis exigitas non caperet). Era un gamberro.

Los matemáticos son gente curiosa. Les encantan los enigmas y acertijos. Fermat había dejado el mayor de todos ellos. ¿Es cierto que no existen valores de a,b y c que cumplan la formula

aⁿ+bⁿ=cⁿ? ¿Pudo ser un error de demostración de Fermat? ¿O era una broma de ese francés? y la pregunta más grande ¿Se puede demostrar el Último teorema de Fermat?. Y los matemáticos se entregaron sin éxito durante generaciones a comprobarlo.

La historia de los intentos de demostración de teorema es el guión que sigue el libro “El Enigma de Fermat” de Simon Singh. Es un libro excepcional, buenísimo. El autor, Simon Singh, nos pasea por la historia de las matemáticas, desde Pitágoras a Fermat y de éste a Andrew Wiles de una forma magistral. El hilo conductor del teorema de Fermat le sirve a Singh para enseñarnos como son los matemáticos, como piensan y como viven. No tiene miedo en explicar complejos conceptos matemáticos con sencillos ejemplos, muy intuitivos.

Por ejemplo, los matemáticos tienen una forma de demostrar algo (o no demostrar algo) para todos los números mediante un método que se llama de inducción. Un teorema inventado podría ser asi: si ordenamos los números el primer número es menor que el siguiente y así hasta el infinito. Sería inviable comprobar esto para el 1 y el 2 y el 3... así hasta el infinito, nos ocuparía toda la eternidad.

Pero aquí entra el método de inducción. Singh hace una analogía del método con fichas de dominó. Si primero colocamos en fila todas las fichas (como ordenar los números, del 1 al infinito) y logramos tirar la primera ficha (demostrar que algo, nuestro teorema ficticio, se cumple para el primer número, el 1) si la ficha está bien colocada tirará la siguiente (se demuestra que algo para el 2 también se cumple). Si todas las fichas están a la distancia correcta, tirando la primera caerán todas (analogamente si se cumple algo para el 1 y se puede generalizar para el 2 y el 3 y el... entonces tenemos la seguridad que el teorema que queremos probar se cumple para todos los números).

Pero no sólo eso. Entre sus páginas se encuentran envidias, suicidios, duelos con notas de despedida llenas de fórmulas, revolucionarios maltratados, premios en metálico, creadores de pasatiempos, filósofos, principios de indecibilidad y padres de familia.

Hasta llegar a Andrew Wiles que se encerró durante 10 años para trabajar en secreto en la demostración del Teorema de Fermat. Y lo hizo, desarrollando técnicas innovadoras en matemáticas, demostrando otro teorema, el de Taniyama-Shimura (este es más difícil, os lo perdono. De nada) que por si mismo era de una complejidad mayúscula.

Wiles hizo pública su demostración tras una serie de difíciles charlas con un título poco sugerente que no mencionaba nada de Fermat. Los rumores se extendieron entre los congresistas hasta crear una gran expectación por su última conferencia. En la sala se encontraban los mejores genios matemáticos de la época, incluyendo a los colegas que habían ayudado con su trabajo, sin saberlo, a la resolución del enigma Fermat.

Todos ellos oyeron por primera vez la demostración del mayor enigma matemático de todos los tiempos.

Por eso nadie recuerda de que iba la conferencia de Ken Ribet. Ni siquiera él mismo.

SALUT I MATES!

PD1: Cuando alguien le decía a Carl Sagan que estaba en contacto con seres extraterrestres, Sagan les pedía que preguntaran a los extraterrestres la demostración del último Teorema de Fermat, porque si lo hacían sería una prueba de la existencia de esos seres. Andrew Wiles no ha dicho nada de extraterrestres, que conste.

PD2: No me había dado cuenta del paralelismo entre el nombre del libro “El enigma de Fermat” con otro mucho más conocido que rima con pinki (y del que no hablo, mirad el subtítulo del blog). Este libro de Fermat es muchísimo mejor. Y además todo es cierto. Y mejor escrito. Y más emocionante. Os dejo su referencia completa: “El Enigma de Fermat” de Simon Singh. Colección Booket, editorial Planeta. ISBN 84-08-06572-6.

PD3: Ayer no puse los enlaces de la entrada. Es lo que pasa cuando tu hijo de 6 años insiste en que estés con él. Ya están los links puestos. A disfrutar.