04 julio 2007

¿Papa, cuantos números hay?


Raül, mi hijo de siete añitos, es un niño de esos que hace preguntas difíciles de contestar. Su cabecita funciona muy bien (incluso como hogar de una familia numerosa de piojos resistentes a todo tratamiento y peine. Estamos pensando en ponerles nombre) y parece que esté pensando casi todo el tiempo. Y la verdad es que no piensa nada mal. Un día descubrió él solito que las cosas que pesan más caen a la misma velocidad que las que pesan menos. Y lo hizo con dos canicas, una de plástico y otra de metal. No está nada mal. A Galileo le costó algunos años más.



El experimento de Raul lo hicieron en la Luna. David Scott, del Apolo XV, sostiene en la izquierda una pluma y en la derecha un martillo. Al carecer la Luna de atmósfera, la pluma no se frena y cae a la misma velocidad que el martillo.

Hace pocos días, después de una competición con su hermano mayor sobre quien decía el número más alto (y de perder, Hèctor le lleva ventaja, tiene 11 años) y tras darle al coco un ratito me preguntó con su vozarrón:

¿Papa, cuantos números hay?

La respuesta es fácil: infinitos. Pero había que dársela a un niño de 7 años. ¿como rayos explicas a un pequeñajo el concepto de infinito?. Yo lo intenté así:

- Venga, dime el número más alto que sepas.
- El un millón quinientos mil novecientos nueve.
- Pues súmale uno y así tendrás un número más grande.
- Y que número es?
- El un millón quinientos mil novecientos diez.
- Ah...
- Espera, que le podemos sumar uno a ese y tendremos un número aún mayor.
- ...
- Y si lo hiciéramos muchas veces siempre encontraríamos un número mayor. Siempre hay un número mayor. Y eso se llama infinito. Infinito es que hay tantos números que no se pueden contar ni decir, nunca se acaban.
- ... ¿Hèctor jugamos a la pelota?
En fin, no supe hacerlo mejor. Pero si la pregunta hubiera sido ¿cuantos TIPOS de números hay? la respuesta no es "infinito", sino muchisimos menos. Os atrevéis a ver cuantos hay. Pues venga.

WARNING, ATENCIÓN
Esta entrada va de números y matemática. No os asustéis. Prescindiré de formulas todo lo que pueda. Ánimo

El primer tipo es el grupo de los Números Naturales (a los matemáticos matemáticos les gusta llamar a los grupos de cosas "conjuntos" por lo que más apropiadamente sería el conjunto de Números Naturales. Pero aquí hablaré de grupos, vale?). Los números naturales son los que usamos para contar cosas: 0 dinosaurios, 1 pantalla, 2 hijos, 3 cerditos, 4 pasajes de avión para Menorca, 5 besos, 6 libros, 7 magníficos... por eso se llaman Naturales, porque son los utilizados para contar las cosas.



Ahora coged dos números naturales y restarlos. Por ejemplo 2 menos 3. ¿Que sale?, algo raro porque para restar números es mejor restar el pequeño del grande. Pero se puede hacer. El resultado es -1, un número negativo.

Es curioso pensar en números negativos porque no suelen aparecer por la naturaleza, no hay -6 arboles en un campo sino una cantidad natural, por ejemplo 23. Pero imaginar que en vuestro banco tenéis 100€ y os llega un cargo de 101€. El resultado es que debéis al banco 1€, es decir tenéis -1€. ¿Veis que fácil es tener un número negativo? Bueno pues si al grupo de los números naturales les sumamos los negativos tendremos el grupo de números de los Enteros.


Ya hemos usado la suma y la resta para encontrar números enteros. Si usamos la multiplicación entre números enteros , por ejemplo 2 por 3 obtenemos 6, otro entero. Pero ¿y si usamos la división?

Si dividimos 1 entre 3 en la calculadora sale 0.333333333. En realidad el 3 se repite infinitas veces, por lo que es más exacto si lo escribimos así: 1/3. Podéis pensar en una pizza para tres para que ya uséis estos números.Pero ni el 1/3 ni el 0,3333333333... son números enteros. En realidad a este tipo de números se les llama fracciones. Como dice Penrose "1/3 es un número que si lo sumamos 3 veces nos da 1". Eso es una fracción, y es un Número Racional.



Hasta aquí parece fácil, verdad? Pero aun no tenemos todos los tipos de números.

Vamos a construir figuras. Cojer por ejemplo unos palitos de 1cm y haced un cuadrado de lado 1cm. El área de un cuadrado es lado por lado, o sea lado al cuadrado o l2. En nuestra primera figura su area es de 1cm2. Ahora usad palitos de 2 cm y haced lo mismo, construir el cuadrado. El área de esta figura será 2 por 2 o sea 4cm2. Es decir que si alguien nos dice que tiene un cuadrado de 4 cm2 ya sabremos que sus lados son de 2cm. Y si fuera de 9 cm2 serían de 3cm de largo los palitos.

Pero ¿y si nos dice que el área del cuadrado es EXACTAMENTE 2 cm2?. Ostras!! ¿cual es la longitud de sus palitos? ¿que número multiplicado por si mismo da 2? Para saber eso podemos buscar en la calculadora cual es la raíz cuadrada de 2 (la operación de buscar que número multiplicado por si mismo da 2 se llama raíz cuadrada). Su resultado es 1,4142135623730950488016887242097... así infinitamente.

Y aquí nos topamos con un número que no puede ser expresado en forma de fracción, es decir que no es Racional. Y como no es racional pues se les llama Números Irracionales. La raíz cuadrada de 2 es un número Irracional. Y la raíz cuadrado de 5. Y cualquier conbinación de un número, una coma e infinitos números aleatorios, esos también.


Pues al grupo de los números racionales y de los números irracionales se les llama Reales. Porque son números que se distribuyen sobre la llamada "Recta Real". Es fácil de entender.

Trazad una linea de, por ejemplo, 20 cm. En el medio marcar un punto y lo llamaremos "0". El numero natural 1 los situaremos a 1 cm a la derecha del 0, el 2 a 2 cm, el tres a 3 cm... luego marcaremos el -1 a 1 cm a la izquierda del 0, el -2 a 2 cm...

Que os parece? parece una "regla", verdad? . Ahora marcaremos la posición de las fracciones tipo 1/2, 1/3, 1/4... y 2/3, 3/4... así hasta que agotemos las combinaciones con los 10 primeros números. Ahora mirad el dibujo. En nuestra "regla" aún nos quedan por marcar muchos espacios que nos quedan tras situar los números naturales positivos y negativos (los enteros) y los racionales. Es en ese espacio donde hay que poner a los irracionales. Si los marcáramos todos, nuestra "regla" sería una linea continua, es decir una linea "real". Eso es la Recta Real de los matemáticos.

Los números reales son los que se utilizan en cualquier medida física. Si queremos medir algo con una regla, no es muy probable que las medidas sea un numero redondo, 10, sino que la medida real se encuera en algún sitio entre el 9,9 y el 10. Y si afinamos más, con una lupa, podremos ajustar la medida entre 9,95 y 10,00. Con un microscópio tendremos más decimales y la medida a ajustaremos a un lugar entre el 9,9999995 y el 10,0000000. Y así hasta el infinito. Cualquier medida de alguna característica del entorno es una aproximación a un número real.

Bueno, por fin ya tenemos todos los tipos de números. ¿Seguro? ¿todos?

Pues no. Nos falta un tipo de número, que no es real. Literalmente.

Para encontrarlos vamos a multiplicar números positivos y negativos. Ya sabemos que si multiplicamos 2 por 2 nos da 4. Recordareis del colegio que si multiplicamos 2 por -2 (un positivo con un negativo) nos da -4 (un negativo). Y si multiplicamos -2 por -2 (un negativo con un negativo) nos da 4 (un positivo). Resumiendo + por + da positivo, - por - da negativo y + por - da positivo.

Ahora juguemos con la raíz cuadrada. Recordar que calcular la raíz cuadrada de 25 no es más que buscar el número que multiplicado por si mismo da 25. O sea la raíz cuadrada de 25 es 5 (porque 5 por 5 es 25). Y la raíz cuadrada de 2 es 1,4142135623730950488016887242097... Y la raíz cuadrada de 1 es 1. ¿Y la raíz cuadrada de -25? ¿O de -1? ¿Que número multiplicado por si mismo da un número negativo?

Ninguno que conozcamos. Para la raíz cuadrada de -25 no puede ser 5 y 5 (porque da un número positivo, 25) y no puede ser -5 y -5 (porque también da 25). No hay número real que cumpla la condición de que si lo elevamos al cuadrado nos resulte otro número pero negativo.

- Pues si no es real será imaginario, tío pesao! (dirá más de uno que llegue hasta aquí)

Pues si, exactamente. La solución está en los Números Imaginarios, que son tan imaginarios que los expresamos con una "i". En realidad i es el número que obtendríamos al hacer la raíz cuadrada de -1. Pero es un número más, imaginario sí, pero uno más. Se puede sumar, restar multiplicar y dividir con otros números reales. Esa fue la gran idea que tuvo Raphael Bombelli en 1572 (fue Descartes quien los llamó imaginarios) y que costo mucho tiempo en ser aceptados por la comunidad matemática.

Estos números, ya que son imaginarios, podrían no tener nada que ver con la realidad. Es decir ser un artificio de matemáticos. Pero no es así. Los números imaginarios son los que usa la naturaleza en sus formas más pequeñas, y dentro de la mecánica cuántica (y no iré más allá porque la entrada ya es bastante larga).

Y además es una dirección imaginaría en el Passeig de Sant Joan, en Barcelona

Y ya está. Igual me dejo otros tipos de números, pero los más importantes son estos. Desde los números naturales y mediante sencillas operaciones hemos descrito al resto de tipos de números (enteros, racionales, reales e imaginarios). ¿A que no era tan difícil?.

- Biennn, el pesao ya ha acabaooooo!!!!
Pues si. Por hoy.

Anda! Y sin formulas.

SALUT!!