29 diciembre 2007

La regla de tres que midió el mundo (y un pezón)



Soy el tipo de persona que necesita hacer la regla de tres con boli y papel de la forma más "cuentadelavieja" para calcular proporciones.

Por ejemplo, el otro día en la oficina para pasar unos datos de longitud y latitud a coordenadas UTM (con una calculadora geodésica), pasando decimales a segundos de arco he tenido que escribir sobre un post-it:

  • si 1,000 minutos son 60 segundos
  • 0,256' son X
  • entonces X= (60 x 0,256)/1
No es mi despacho pero casi


Sería más fácil recordar que sólo he de multiplicar el número de decimales por 60, sin tener que pensarlo pero aunque lo he calculado muchas veces sigo haciéndolo igual. Mira. Luego dicen que soy inteligente.


La regla de tres es una forma de cálculo muy sencilla y directa que utilizamos, casi siempre, sin darnos cuenta. Cuando compramos pan preguntamos el precio de la barra y hacemos este cálculo mental:
  • si 1 barra vale 0,8 €
  • 3 barras son X
  • entonces X= (0,8 x 3)/1= 2,4€

La regla de tres se utiliza con una sola condición y es que debe de haber una relación lineal entre los parámetros. Tranquis, lo explico. Si en número de barras pan que queremos aumenta el doble, el total de euros a pagar ha de ser el doble. Eso es ser proporcional, o en lenguaje matemático tener una relación lineal. Si en la panadería me hicieran una oferta de las de 3x2 (llevarme 3 barras y pagar sólo 2) entonces la regla de tres no se podría aplicar ya que ya no hay proporcionalidad, no hay relación lineal. Así de sencillo.

Esta humilde regla matemática es utilizada mucho, sobre todo para llegar a fin de mes. También en ciencia cuando se calculan el número de estrellas del universo, la población de peces de un río, las dosis para una medicación...

Pero la forma más bella e importante de utilizar la regla de tres fue propuesta hace más de 2.200 años por un amiguete de Arquímedes y gracias al buen uso de una biblioteca y tuvo impresionantes e inesperadas consecuencias.



Eratóstenes fue un astrónomo, matemático y geógrafo griego que nació en el 276 aC. Estudió en Alejandría y Atenas y fue el "director" de la mítica Biblioteca de Alejandría. Entre sus muchos méritos e intereses de Eratóstenes se encontraban la geografía y los mapas. Fue pionero en utilizar lineas verticales y horizontales en los mapas de forma muy parecida a como usamos actualmente la longitud y la latitud (paralelos y meridianos se llaman). De esta forma, averiguando solo las coordenadas de un sitio concreto en relación con los paralelos y meridianos de un mapa se podía situar en él cualquier lugar de forma exacta y precisa.



Parece una tontería pero no lo es. Prueba a ir a la fiesta de nochevieja con tus amigos con indicaciones imprecisas del tipo "anda 20 minutos hacia esa montaña y luego un poco más allá por la derecha". Te veo el día de Reyes aun buscando a no ser que te digan una calle y un número (la longitud y latitud de nuestros callejeros).

Eratóstenes encontró en la biblioteca un legajo (supongo que un papiro) donde se mencionaba una curiosidad: en Siena, una ciudad situada cientos de kilómetros al sur de Alejandría, al mediodía (cuando el sol está más alto en el cielo) del solsticio de verano (el día con más horas de luz natural, el 21 de junio) los pozos se iluminaban hasta su base, se veía el agua del fondo. O dicho de otra forma, un palo completamente vertical no tendrá sombra a las 12.00h del 21 de junio en Siena.

En los días de Eratóstenes era de conocimiento general (al menos entre los estudiosos) que la Tierra era esférica -quizás por motivos filosóficos pues la esfera es el sólido perfecto o quizás por ver la sombra de la Tierra sobre la luna en los eclipses lunares- y que el Sol estaba muy, muy, muy lejos, tanto que los rayos de luz llegan paralelos hasta nosotros. Además la trigonometría estaba muy desarrollada así que no tardó mucho el griego en pensar una forma de medir el tamaño de la Tierra.

Si lograba medir la distancia exacta entre Siena y Alejandría y el ángulo que formaba la sombra de un palo en Alejandría al mediodía del 21 de junio entonces, usando una regla de tres, tendría el tamaño de nuestro planeta.

A ver que lo explico.

Si un palo no tiene sombra en Siena significa que la luz del sol llega completamente vertical a esa hora y en esa fecha. Como en Alejandría al mediodía de 21 de junio un palo sí que da sombra (porque la curvatura de la Tierra hace que el Sol no esté en la vertical en ese punto del globo) si medimos el ángulo que forma la sombra y el palo en Alejandría y lo comparamos con la no-sombra de Siena en realidad medimos la propia curvatura del planeta.

Mirad este gráfico de Wikipedia.
En el 1 está Siena, los rayos solares caen verticales.
En el 2 está Alejandría y los rayos caen con un
angulo relacionado con la curvatura terrestre.


Vale.

El ángulo que mide Eratóstenes es de 7,2º, por lo tanto Alejandría y Siena están separadas por una curvatura de 7,2º (recordar que la circunferencia completa son 360º). Solo falta medir la distancia entre esas ciudades que probablemente la obtuvo preguntando a los comerciantes que realizaban esa ruta (la leyenda dice que pagó a un esclavo para que contara los pasos). Y la distancia era de 5.000 estadios (el estadio es una unidad de distancia de la época).

Así que aplicando la regla de tres:
  • si 7,2º son 5.000 estadios
  • 360º son X
  • entonces X= (360 x 5.000)/7,2 =250.000 estadios

Ea! la circunferencia de la Tierra son 250.000 estadios!!!

Claro que la medida tiene errores. Eratóstenes era consciente que el cálculo de la distancia era sólo aproximada. Pero se equivocó al situar Siena (actual Assuan) justo al sur de Alejandría cuando está ligeramente al este. Además Siena está a unos 50 km del Trópico (es la línea imaginaria, paralela al ecuador, donde al mediodía del 21 de junio el Sol está exactamente en la vertical) por lo que la sombra en los pozos no desaparece completamente. Tampoco sabía que la Tierra no es esférica, sino que es ligeramente achatada.

Pantallazo del Google Earth con
Alejandría, Siena y su distancia real


Con todo, el problema principal para ver cuan exacta era su medida está en saber cuanto mide un estadio. Si tomamos el estadio egipcio que corresponde a 157,2 metros la circunferencia de la tierra nos sale a 39.300 km. Y eso es asombroso. Actualmente la circunferencia de nuestro planeta está establecida en 40.008 km. Un error muy pequeñito.

Pero hasta llegar a nuestros exactos datos, los cálculos de Eratóstenes sufrieron un largo camino, siendo modificados a menos por Posidonio y fijados por Ptolomeo en sus escritos que fueron ampliamente extendidos. Así que durante más de 1000 años se pensó que la Tierra era más pequeña de lo que es en realidad,dejándola en tan sólo 29.000 km. Y ese fue un error capital con consecuencias continentales.



Cristóbal Colon se basó en esos cálculos para estimar una distancia de 2.400 millas náuticas hasta llegar a Cipango (la actual Japón) y convencer a los Reyes Católicos para financiar su viaje. Los "asesores científicos" de Isabel y Fernando discrepaban de las distancias del viaje que presentaba Colón y que se basaban en los cálculos del tamaño de la Tierra de Ptolomeo. Pensaban (y estaban en lo cierto) que el globo terráqueo era más grande y que el viaje no tenía ninguna posibilidad de éxito.

Pero Colón, que debía ser un gran comercial, logró convencer a los Reyes para que le financiaran el viaje.

Réplica de las tres naves de la primera expedición de Colón.
La más grande medía 29 metros de eslora


Así que se embarcó en su viaje con tres pequeñas naves a vela con unos cálculos erróneos de las distancias a recorrer por una mala estimación del tamaño de la Tierra. Afortunadamente para él (no para los nativos) se encontró con el Caribe Americano justo en el lugar que esperaba que estuviera Cipango. Eso fue en 1.492.

Y así se descubrió América, gracias a un error de cálculo en la circunferencia de la Tierra (y gracias también a las narices de Colon). Estaba tan seguro de que las tierras descubiertas eran su Cipango , y de que sus cálculos eran correctos, que cuando nuevas mediciones las pusieron en duda Colon dijo que "quizás la Tierra no sea esférica, sino que tiene forma de pera o de pezón: ancho por abajo y estrecho por arriba".

Je je. Forma de Pezón. Lo dijo Colón.

Pezón

Acabando que ya es largo. Eratóstenes ideó este método que se basa en simples matemáticas y sencillas mediciones para lograr conocer cuan grande era la Tierra. Y utilizó la regla de tres. Es tan sencillo y bello su razonamiento que fue elegido uno de los 10 experimentos más bellos de la historia de la física por Robert P.Crease en el New York Times. Merece la pena un repasito por los otros nueve, ahora que tenemos tiempo y hace frio fuera de casa.

Disfrutad de las fiestas. Y que os den muchos besitos y abrazos. Cuantos? usad la regla de tres para contarlos.


SALUT!!

4 comentarios:

txiqui dijo...

Vaya, vaya. Nada mal para despedir el año... Menos mal que estáis los de ciencias para descifrar el cotarro de los números, que si es por mí...
Feliz año, familia

il parra dijo...

Hola:
navegando por la red he visto tu blog, me he parado para descansar y lo he explorado, es muy interesante. Ahora continuo mi viaje. Cuando quieras ven a ver mi blog. Ciao.

Olantzero dijo...

Mhh... entonces, si yo, saliendo de Barcelona, tardo hora y media en leerme las 33 primeras páginas de mi nuevo libro de Bryson (es que entre los transbordos del tren y las juanis del bus cuesta,eh?); ¿habré llegado a Assuán (a paso ligero) para cuando termine con las 534 restantes (y no cuento las notas al pie)?

... Claro, que igual mi velocidad de lectura no es tan lineal como quisiera... jeje!

Interesantísima, la relación entre la regla de tres y la morfología mamaria, sí señor, quién lo iba a decir. Y me ha encantado la reflexión oceanográfica, pero me has chafao la peli, ¡que no la había vistoooo!...

Ya ves que te seguimos "arreu i a tothora", así que ¡que no decaiga la cosa!

Un abrazote!

Olduvai dijo...

Hey Olantzero,

La Renfe no es un buen ejemplo para aplicar la regla de tres: no hay relacion lineal entre distancia y tiempo, jajaja.

Y mira que me pensé en avisar del spoiler en la entrada pero pensé "buaj, habrá algún ser humano que a estas alturas no haya visto Buscando a Nemo?" Pues si que lo había, jaja.

Espero que te guste el librito. Es muy variado y entretenido. Y ya sabes, la Renfe procura por la lectura de sus pasajeros con trayectos innecesariamente largos. Llegarás al Prat por la página 200.

Gracias por seguirme con tanto cariño, un beso enorme.

Oldu