El azar y el orden de los primos

A veces me pasa. Bastante gente no conoce mi sentido del humor y no pillan mis bromas. Que se le va a hacer!! también hay gente que no le hacen ninguna gracia Faemino y Cansado o los Monthy Python (para compensar a mi no me hace ninguna los Morancos).

Lo digo porque he estado dando esta respuesta a la gente que me preguntaba como me iba con 42 años:

"Sinceramente prefiero los 41, porque es primo. 42 es par y más aburrido. Pero estoy tranquilo porque el año que viene son 43, otro primo"

(claro que dicho así no hace ninguna gracia, pero tampoco gana mucho cuando la digo de palabra. Ya os advertí de mi sentido del humor).

Olantzero (que sí pilla mis bromas) prefiere los pares que los primos. Nada que decir, sobre gustos ya se sabe. Pero yo prefiero los número primos. Y por qué?

Aha!! me encanta que me hagan esa pregunta. Los números primos son un fascinante misterio matemático. A ver si soy capaz de explicarlo.

Recordareis la definición de un primo: es un número divisible sólo por el 1 y por si mismo. El 7 es primo porque sólo es divisible por el 1 y el mismo 7, a diferencia del 6 que se puede dividir por los números 1, 2,3 y 6. Pero ¿que significa eso en realidad? Vamos a verlo. Coged 6 monedas y probar cuantas distribuciones de un rectángulopodéis hacer con ellas. Algo así:

Pero si coges 7 monedas no podrás hacer más que esto:

No se pueden formar rectángulos con un número primo de monedas, por muchas que toméis. Por eso son curiosos los números primos.

Esta extraña característica de los primos, su indivisibilidad con otros números diferentes que no sean ellos mismos, se conoce de muy antiguo. La primera vez que aparecen los números primos seriados es en un hueso de babuino llamado Hueso de Ishango, de hace 8.000 años y encontrado entre Uganda y el Congo. En él donde aparecen unas marcas en estas secuencias:11, 13, 17, 19. Es decir los números primos que hay entre el 10 y el 20.

Hueso de Ishango y las marcas
que indican números primos

Ahora vamos a jugar con los números. Mediante ordenadores se ha comprobado que los pares mayores que 2 e inferiores a 400.000.000.000.000 pueden hacerse mediante la suma de dos números primos. Ejemplos:

6=3+3
8= 3+5
10= 3+7
12= 5+7
14= 3+11

La Conjetura de Goldbach es esa precisamente: todo número par mayor que 2 puede expresarse mediante la suma de dos números primos. Fue formulada en 1742 y aún no ha sido demostrada matemáticamente. Y mientras no se alcanza la demostración se está comprobando experimentalmente mediante ordenadores y no se ha encontrado un par que no cumpla ser suma de dos primos. Parece un capricho de los números.

Y solo eso? direis.

Pues no. Que os parece si os digo que en realidad TODOS los números, sin dejarse ni uno, pueden crearse a partir de números primos? Por ejemplo, el 42 se puede formar multiplicando 2, 3 y 7.

42=2 x 3 x 7
(2, 3 y 7 son primos)

Más ejemplos:

292=2 x 2 x 73
(73 es primo)

968= 2 x 2 x 2 x 11 x 11
(11 es primo)

Podéis consultar la lista de los números del 1 a 1000 aquí. Y esto SI que está comprobado matemáticamente. Es el llamado Teorema Fundamental de la Aritmética (demostrado por Euclides)

Es decir que los números primos son los ladrillos con los que se construyen TODOS los números, sin dejarse ni uno. Los primos son para la matemática como los elementos de la tabla periódica para la química.

A los matemáticos les encantan los números. Y no paran en buscar patrones en ellos. Os podéis imaginar que los primos han sido objeto de atención. Y aquí es donde viene el misterio. Vamos a verlo contando del 1 al 20 poniendo en negrita a los números primos:

1, 2, 3, 4, 5, 6,7, 8, 9, 10, 11, 12, 13, 14, 15, 16, 17, 18, 19, 20

(el 1 no se considera primo, mira por donde)

Parecen puestos al azar. El 2 y el 3 están juntos pero entre el 13 y el 17 hay tres números que los separan. Y si seguimos contando, este comportamiento azaroso se agrava. El 1637 es primo y es siguiente primo se encuentra a 20 números. Pero más tarde encontramos dos primos casi juntitos, 1721 y 1723. Podéis comprobarlo aquí en lista de los primeros 8.000 números primos.

Parece una locura. Los números más fundamentales, los ladrillos que forman a todos el resto de números, se encuentran distribuidos sin ton ni son, como si hubiera sufrido un tornado el edificio en obras de las matemáticas. Y eso a los matemáticos no les gusta.

A principios del siglo XIX dos matemáticos empezaron a ver un orden en el caos de los primos, Gauss y Legendre. Y lo hicieron contando los números primos que había entre el resto de los números. Me explico, si nos ponemos podemos contar que:

• Entre el 1 y el 10 hay 4 números primos y su proporción (10/4) es 2,5.
• Entre e1 1 y el 100 hay 25 números primos y su proporción (100/25) es 4.
• Entre e1 1 y el 1.000 hay 168 números primos y su proporción (1.000/168) es 6.
• Entre e1 1 y el 10.000 hay 1.229 números primos y su proporción (10.000/1.229) es 8,1.
• Entre e1 1 y el 100.000 hay 9.592 números primos y su proporción (100.000/9.592) es 10,4.
• Entre e1 1 y el 1.000.000 hay 78.498 números primos y su proporción (1.000.000/78.498) es 12,7.
• Entre e1 1 y el 10.000.000 hay 664.579 números primos y su proporción (10.000.000/664.579) es 15,0.

• ...

Bufff cuanto número. Bueno, tranquis, lo resumo. Cuanto más crece el total de números donde buscamos, también crece la cantidad de números primos que encontramos pero, aquí viene lo importante, no lo hace al mismo ritmo. Y a que ritmo lo hace? pues si aumentamos en 10 en número total de números, la proporción con los primos crece 2,3 (a partir de 10.000).Fijaos:

Total números ............................Proporción de primos
10.000 .................................. 8,1
100.000 ................................. 10,4
1.000.000.................................. 12,7
10.000.000.................................. 15,0

...

Toma ya! Existe cierto orden el el azar de los números primos. Es cierto que no se puede saber cuando aparecerá un primo pero al menos se pueden contar, y preveer, cuantos hay entre una cantidad determinada de números. Algo es algo.

Gauss, sin campana

Gauss propuso que el total de números primos en una cantidad dada se aproximaba al número resultante de dividir en número total de números por el logaritmo natural de ese número (un logaritmo es una forma de contar las cifras que tiene un número. El logaritmo de 1000 es 3.El de 10.000 es 4. Logaritmo natural es una clase especial de logaritmos).

No era mala la aproximación. Pero a medida que en número total de números aumenta, el error de la estimación también aumentaba. Cada vez había más números primos entre el total de números que los que estimaba la fórmula de Gauss.

Legendre

Legendre propuso otra aproximación, muy parecida. Se trata de restar en el divisor un número algo raro: 1.08366. Pero era mejor que la de Gauss.

Gauss posteriormente mejoró su estimación (era un gran genio matemático) y dejo el camino para que un alumno suyo, Bernhard Riemann avanzara en la cuestión unos 50 años después con su Hipótesis de Riemann de la función zeta donde volvía a aparecer un orden mucho más estricto en los primos. Pero esa es otra película que aún no ha acabado. La hipótesis deRiemann está sin demostrar desde entonces a pesar de los numerosos asaltos matemáticos.

Ya veis que los números primos son muy interesantes. Si los miramos de cerca parecen estar repartidos al azar entre los números. Pero desde lejos parece un bosque muy ordenado. Es esa dualidad la que me parece más significativa y misteriosa.

Por eso me gustan los primos. Y también porque mi peña de amigos del pueblo se llama "El 13" y mi dorsal en el equipo de rugby de Cornellà era también el 13. Primo.

Ala, espero haber convencido a Olantzero. Aunque no se si habrá entendido algo. Es otra de las cosas que a veces me pasa.

SALUT I PRIMS!

PD: Y cuando hablo de primos no me refiero de ninguna forma a Rajoy y sus opiniones sobre el cambio climático. O igual si que me refiero:

¿Papa, cuantos números hay?

Raül, mi hijo de siete añitos, es un niño de esos que hace preguntas difíciles de contestar. Su cabecita funciona muy bien (incluso como hogar de una familia numerosa de piojos resistentes a todo tratamiento y peine. Estamos pensando en ponerles nombre) y parece que esté pensando casi todo el tiempo. Y la verdad es que no piensa nada mal. Un día descubrió él solito que las cosas que pesan más caen a la misma velocidad que las que pesan menos. Y lo hizo con dos canicas, una de plástico y otra de metal. No está nada mal. A Galileo le costó algunos años más.

El experimento de Raul lo hicieron en la Luna. David Scott, del Apolo XV, sostiene en la izquierda una pluma y en la derecha un martillo. Al carecer la Luna de atmósfera, la pluma no se frena y cae a la misma velocidad que el martillo.

Hace pocos días, después de una competición con su hermano mayor sobre quien decía el número más alto (y de perder, Hèctor le lleva ventaja, tiene 11 años) y tras darle al coco un ratito me preguntó con su vozarrón:

¿Papa, cuantos números hay?

La respuesta es fácil: infinitos. Pero había que dársela a un niño de 7 años. ¿como rayos explicas a un pequeñajo el concepto de infinito?. Yo lo intenté así:

- Venga, dime el número más alto que sepas.
- El un millón quinientos mil novecientos nueve.
- Pues súmale uno y así tendrás un número más grande.
- Y que número es?
- El un millón quinientos mil novecientos diez.
- Ah...
- Espera, que le podemos sumar uno a ese y tendremos un número aún mayor.
- ...
- Y si lo hiciéramos muchas veces siempre encontraríamos un número mayor. Siempre hay un número mayor. Y eso se llama infinito. Infinito es que hay tantos números que no se pueden contar ni decir, nunca se acaban.
- ... ¿Hèctor jugamos a la pelota?

En fin, no supe hacerlo mejor. Pero si la pregunta hubiera sido ¿cuantos TIPOS de números hay? la respuesta no es "infinito", sino muchisimos menos. Os atrevéis a ver cuantos hay. Pues venga.

WARNING, ATENCIÓN
Esta entrada va de números y matemática. No os asustéis. Prescindiré de formulas todo lo que pueda. Ánimo

El primer tipo es el grupo de los Números Naturales (a los matemáticos matemáticos les gusta llamar a los grupos de cosas "conjuntos" por lo que más apropiadamente sería el conjunto de Números Naturales. Pero aquí hablaré de grupos, vale?). Los números naturales son los que usamos para contar cosas: 0 dinosaurios, 1 pantalla, 2 hijos, 3 cerditos, 4 pasajes de avión para Menorca, 5 besos, 6 libros, 7 magníficos... por eso se llaman Naturales, porque son los utilizados para contar las cosas.

Ahora coged dos números naturales y restarlos. Por ejemplo 2 menos 3. ¿Que sale?, algo raro porque para restar números es mejor restar el pequeño del grande. Pero se puede hacer. El resultado es -1, un número negativo.

Es curioso pensar en números negativos porque no suelen aparecer por la naturaleza, no hay -6 arboles en un campo sino una cantidad natural, por ejemplo 23. Pero imaginar que en vuestro banco tenéis 100€ y os llega un cargo de 101€. El resultado es que debéis al banco 1€, es decir tenéis -1€. ¿Veis que fácil es tener un número negativo? Bueno pues si al grupo de los números naturales les sumamos los negativos tendremos el grupo de números de los Enteros.

Ya hemos usado la suma y la resta para encontrar números enteros. Si usamos la multiplicación entre números enteros , por ejemplo 2 por 3 obtenemos 6, otro entero. Pero ¿y si usamos la división?

Si dividimos 1 entre 3 en la calculadora sale 0.333333333. En realidad el 3 se repite infinitas veces, por lo que es más exacto si lo escribimos así: 1/3. Podéis pensar en una pizza para tres para que ya uséis estos números.Pero ni el 1/3 ni el 0,3333333333... son números enteros. En realidad a este tipo de números se les llama fracciones. Como dice Penrose "1/3 es un número que si lo sumamos 3 veces nos da 1". Eso es una fracción, y es un Número Racional.

Hasta aquí parece fácil, verdad? Pero aun no tenemos todos los tipos de números.

Vamos a construir figuras. Cojer por ejemplo unos palitos de 1cm y haced un cuadrado de lado 1cm. El área de un cuadrado es lado por lado, o sea lado al cuadrado o l^₂. En nuestra primera figura su area es de 1cm². Ahora usad palitos de 2 cm y haced lo mismo, construir el cuadrado. El área de esta figura será 2 por 2 o sea 4cm². Es decir que si alguien nos dice que tiene un cuadrado de 4 cm² ya sabremos que sus lados son de 2cm. Y si fuera de 9 cm² serían de 3cm de largo los palitos.

Pero ¿y si nos dice que el área del cuadrado es EXACTAMENTE 2 cm²?. Ostras!! ¿cual es la longitud de sus palitos? ¿que número multiplicado por si mismo da 2? Para saber eso podemos buscar en la calculadora cual es la raíz cuadrada de 2 (la operación de buscar que número multiplicado por si mismo da 2 se llama raíz cuadrada). Su resultado es 1,4142135623730950488016887242097... así infinitamente.

Y aquí nos topamos con un número que no puede ser expresado en forma de fracción, es decir que no es Racional. Y como no es racional pues se les llama Números Irracionales. La raíz cuadrada de 2 es un número Irracional. Y la raíz cuadrado de 5. Y cualquier conbinación de un número, una coma e infinitos números aleatorios, esos también.

Pues al grupo de los números racionales y de los números irracionales se les llama Reales. Porque son números que se distribuyen sobre la llamada "Recta Real". Es fácil de entender.

Trazad una linea de, por ejemplo, 20 cm. En el medio marcar un punto y lo llamaremos "0". El numero natural 1 los situaremos a 1 cm a la derecha del 0, el 2 a 2 cm, el tres a 3 cm... luego marcaremos el -1 a 1 cm a la izquierda del 0, el -2 a 2 cm...

Que os parece? parece una "regla", verdad? . Ahora marcaremos la posición de las fracciones tipo 1/2, 1/3, 1/4... y 2/3, 3/4... así hasta que agotemos las combinaciones con los 10 primeros números. Ahora mirad el dibujo. En nuestra "regla" aún nos quedan por marcar muchos espacios que nos quedan tras situar los números naturales positivos y negativos (los enteros) y los racionales. Es en ese espacio donde hay que poner a los irracionales. Si los marcáramos todos, nuestra "regla" sería una linea continua, es decir una linea "real". Eso es la Recta Real de los matemáticos.

Los números reales son los que se utilizan en cualquier medida física. Si queremos medir algo con una regla, no es muy probable que las medidas sea un numero redondo, 10, sino que la medida real se encuera en algún sitio entre el 9,9 y el 10. Y si afinamos más, con una lupa, podremos ajustar la medida entre 9,95 y 10,00. Con un microscópio tendremos más decimales y la medida a ajustaremos a un lugar entre el 9,9999995 y el 10,0000000. Y así hasta el infinito. Cualquier medida de alguna característica del entorno es una aproximación a un número real.

Bueno, por fin ya tenemos todos los tipos de números. ¿Seguro? ¿todos?

Pues no. Nos falta un tipo de número, que no es real. Literalmente.

Para encontrarlos vamos a multiplicar números positivos y negativos. Ya sabemos que si multiplicamos 2 por 2 nos da 4. Recordareis del colegio que si multiplicamos 2 por -2 (un positivo con un negativo) nos da -4 (un negativo). Y si multiplicamos -2 por -2 (un negativo con un negativo) nos da 4 (un positivo). Resumiendo + por + da positivo, - por - da negativo y + por - da positivo.

Ahora juguemos con la raíz cuadrada. Recordar que calcular la raíz cuadrada de 25 no es más que buscar el número que multiplicado por si mismo da 25. O sea la raíz cuadrada de 25 es 5 (porque 5 por 5 es 25). Y la raíz cuadrada de 2 es 1,4142135623730950488016887242097... Y la raíz cuadrada de 1 es 1. ¿Y la raíz cuadrada de -25? ¿O de -1? ¿Que número multiplicado por si mismo da un número negativo?

Ninguno que conozcamos. Para la raíz cuadrada de -25 no puede ser 5 y 5 (porque da un número positivo, 25) y no puede ser -5 y -5 (porque también da 25). No hay número real que cumpla la condición de que si lo elevamos al cuadrado nos resulte otro número pero negativo.

- Pues si no es real será imaginario, tío pesao! (dirá más de uno que llegue hasta aquí)

Pues si, exactamente. La solución está en los Números Imaginarios, que son tan imaginarios que los expresamos con una "i". En realidad i es el número que obtendríamos al hacer la raíz cuadrada de -1. Pero es un número más, imaginario sí, pero uno más. Se puede sumar, restar multiplicar y dividir con otros números reales. Esa fue la gran idea que tuvo Raphael Bombelli en 1572 (fue Descartes quien los llamó imaginarios) y que costo mucho tiempo en ser aceptados por la comunidad matemática.

Estos números, ya que son imaginarios, podrían no tener nada que ver con la realidad. Es decir ser un artificio de matemáticos. Pero no es así. Los números imaginarios son los que usa la naturaleza en sus formas más pequeñas, y dentro de la mecánica cuántica (y no iré más allá porque la entrada ya es bastante larga).

Y además es una dirección imaginaría en el Passeig de Sant Joan, en Barcelona

Y ya está. Igual me dejo otros tipos de números, pero los más importantes son estos. Desde los números naturales y mediante sencillas operaciones hemos descrito al resto de tipos de números (enteros, racionales, reales e imaginarios). ¿A que no era tan difícil?.

- Biennn, el pesao ya ha acabaooooo!!!!

Pues si. Por hoy.

Anda! Y sin formulas.

SALUT!!

Modelos, caos y magia

Estoy acostumbrado a trabajar con modelos.


Je je.

Suena estupendo, pero me refiero a modelos informáticos. Se tratan de programas que simulan condiciones complejas de la realidad en función de unos cálculos matemáticos.

Modelo de viento y oleaje de
mis compañeros de Puertos del Estado (Hola Enrique!!)

Un ejemplo son los modelos de oleajes y corrientes del litoral. El software comienza a funcionar cuando se introducen como datos unas condiciones iniciales como la previsión de vientos, mareas, el perfil de la costa, su batimetría y cosas así. Luego el programita aplica las fórmulas matemáticas que relacionan unas condiciones con otras a lo largo del tiempo. Imagina que el viento previsto a las 12.00h es 10 m/s. Las formulas calculan el efecto de ese viento sobre la superficie del mar generando oleaje, supongamos olas de 1 metro de altura (por ejemplo). El modelo informático calcula luego el efecto del viento previsto para la 13.00h, que supongamos es de 5 m/s, sobre olas de 1 metro dando como resultado que el oleaje tendrá 1,25 metros de altura. Y así sucesivamente hasta un número determinado de horas.

En realidad también vosotros estáis acostumbrados a los modelos.



Ja ja ja.

Si. Los modelos meteorológicos son los utilizados para las previsiones del tiempo. Funcionan de forma similar al modelo de oleaje pero se alimentan de miles y miles de datos on-line. Son tan complejos que son necesarios supercomputadores para que "corran" y den sus resultados. Para que coparéis el modelo de oleaje puede hacerse funcionar en un ordenador sencillito.


Son una herramienta fantástica que sirven para planificar muchísimas cosas, la primera y más importante es que ponerse por la mañana o si se ha de coger el paraguas al salir de casa. Un ejemplo de su uso y valor está en la gestión de emergencias. Estos días que llueve tanto por Catalunya se ha activado el plan de emergencias regional INUNCAT que, entre otras cosas, tiene un modelo que simula avenidas de los ríos para decretar la evacuación de zonas. Existen otros modelos informáticos que simulan trayectorias de contaminantes, nubes tóxicas de accidentes industriales, modelos globales sobre el clima, etc.


Lo que no me imaginaba es como se puede hacer un modelo sobre los partidos de baloncesto.


Acabo de leer en el libro "Álgebra en todas partes" de José Antonio de la Peña (ISBN 968-16-6052-8) -que pille no hace mucho en la Casa del Libro- como hacer un modelo matemático sobre el baloncesto de la NBA. Se basa, como todos los modelos, en reducir el juego a lo más simple desde el punto de vista matemático. No voy a profundizar mucho porque es algo complejo. Pero os lo resumo de forma sencilla. No os asusteis.

Divide el juego en fases. La fase 1 es la que un equipo pasa de medio campo con la bola controlada. La fase 2 es que llegue al fondo de la cancha. La fase 3 es que el equipo haga una canasta de 2 puntos y la fase 4 cuando hace una canasta de 3 puntos(como veis se simplifica el juego porque descarta los tiros libres y otros aspectos).

Sencillo hasta aquí? son 4 fases de juego desde la posesión en el campo hasta la canasta final. Pero no se puede pasar de una fase a otra aleatoriamente, sino que se pasa de una a otra con un cierto orden. Estas "transiciones" se pueden resumir en un gráfico algo complejo pero que os pongo para que os hagáis a la idea:



Bien, ya que tenemos el esquema de transiciones posibles, se recurre a la estadística de los equipos que se enfrentan, pongamos los Chicago Bulls y los Utah. Por ejemplo estadísticas de tiros de dos puntos, de tres puntos, robos de balón en campo contrario y en campo propio, rebotes ofensivos y defensivos... Todos estos números se pueden traducir en probabilidades. La probabilidad de que los Chicago Bulls acaben un ataque con una canasta es de 0,78 y de defender un ataque un 0,36. En cambio los Utah Jazz tiene una probabilidad de canasta del 0,71 y de defender un ataque de 0,39. Estas estadísticas y similares se meten en el modelo y nos simularía un partido promedio entre ellos.

Complicadillo, eh? tranquilos, yo no lo entiendo mucho tampoco. Pero me ha encantado por tres razones:

• La primera porque el libro da el resultado más probable del partido según el modelo matemático (Chicago 82- Utah 78) y que se parece mucho al resultado promedio de la final de 1999 entre esos equipos (Chicago ganó 4 partidos y Utah 2, el promedio de puntos que sacó Chicago fue de 3, muy cerca de los 4 del modelo).

• La segunda es que introduce el caos. No los malos de la MARVEL sino la Teoría del Caos. En pocas palabras, en un sistema complejo que cambia con el tiempo (como el partido de baloncesto) podemos saber con claridad los procesos que intervienen y la condiciones iniciales (temperatura inicial o quien tiene el balón por ejemplo) pero el modelo se irá alejando de la realidad conforme pase el tiempo. Por muchos ajustes que hagamos en nuestro modelo, siempre empieza a perder precisión si le dejamos el tiempo suficiente. Esa es la razón por la que los mapas del tiempo son a 3 días y no a 300 (aparte de para que nos serviría: ¿os imanáis que a estas alturas de abril nos dijeran que tiempo hará en navidad? ¿o el resultado de la Champions de 2009?).
  

Edwars Norton Lorenz

Precisamente así fue como se llegó a la Teoría del Caos, cuando Edwars Norton Lorenz intentaba ajustar un modelo informático de meteorología basado en tres procesos bien conocidos y unas temperaturas iniciales. Se dio cuenta que con variaciones muy pequeñas en las condiciones iniciales (la temperatura con 3 o con 6 decimales, así de pequeñas eran las diferencias) cambiaban los resultados de forma radical a lo largo del tiempo.

Podeis comprobar el efecto del caos con un experimento sencillo en casa. Coged un papel y cortadlo por la mitad. Arrugar y hacer una pelota con una mitad de papel. Ahora tirad 9 veces la pelota desde el mismo punto y altura. Mirad donde cae. Todas caen en el mismo punto y el rebote las aleja algo más.

Foto de las 9 tiradas de la pelota de papel.
Todas han quedado en el cuadrado central de mi edredón IKEA.
Apuntaba al centro

Probad lo mismo con el papel sin arrugar dejandolo caer plano. El lugar donde cae el papel varia de una tirada a otra, a pesar de dejarlo caer desde el mismo punto y de que no tenemos rebote. Es debido a que el papel sin arrugar, mientras cae genera unas turbulencias y dinámicas con el aire que le envuelve que se comportan caoticamente, alterando la trayectoria de caida. Además mínimos cambios en la posición y angulo del papel hacen variar el punto del aterrizaje (edredozaje, no?). Así es como actua el caos.

Y ahora fotos de las 9 tiradas del papel sin arrugar.
Hasta en 4 ocasiones se salió
el medio folio del cuadrado central

• Y la tercera razón es porque refleja claramente, más allá de la Teoría de Caos, la limitaciones de los modelos matemáticos (y en consecuencia de los modelos informáticos). Por definición el modelo se basa en fórmulas matemáticas que relacionan determinadas variables, como viento y oleaje o como la defensa y el ataque del baloncesto. Pero no se han considerado por ejemplo las faltas y los tiros libres ni el efecto de los edificios sobre el viento y el oleaje. Para mantener loscálculos lo más sencillos posibles se ha simplificado la realidad. Y a veces si simplificas mucho te pierdes lo mejor.

Por ejemplo. Último minuto del último partido de la NBA del año 1998. Los Chicago Bulls juegan el último partido del play-off final contra los Filadelfia 76ers. Pierden los toros por 3 puntos a falta de segundos para el final. Si ganan los Filadelfia ganan el anillo de campeón. Pero Michael Jordan no esta de acuerdo. Hace una canasta de 2, baja a defender, roba el balón, comienza a botarlo y pasa cansinamente la mitad de la cancha, se acerca a canasta, finta a su defensor (que cae al suelo), se levanta verticalmente, lanza el balón y encesta. Un tiro perfecto. Un guión de película. Campeón los Bulls por 1 punto.

Fijaos en el instante final del vuelo del balón antes de encestar. Todos, jugadores y publico, están mirando si es canasta o no, porque está en juego el título. Todos menos Jordan que ya sabe que es campeón levantando el dedo índice de la mano. Impresionante, que dominio! Este último minuto se considera el mejor de la historia del baloncesto.

Estoy seguro que ningún modelo podía preveer este final. Por muy buenas o buenos que estén.

SALUT I CAOS!!

PD: Acabo de encotrar el último minuto del partido Chicago-Utah, todo seguido y narrado por Montes. Disfrutad de la mágia.

Hanc marginis exigitas non caperet

(ATENCION: Esta entrada tiene matemáticas. Incluso latín. No os desaniméis)

Ken Ribet, prestigioso matemático americano, dio una charla durante unas jornadas internacionales de matemáticas en Cambridge el 24 de junio de 1993. A pesar del nivel del conferenciante y de la audiencia (matemáticos de nivel mundial) ocurrió que -con sus propias palabras- “di la charla, la gente tomó notas, aplaudió y ninguno de los presentes, incluyéndome a mi, tiene ni idea de lo que dije en esa conferencia”.

Nadie de los asistentes a la sala podía recordar de que habló Ribet porque estaban conmocionados. Acababan de presenciar en la conferencia anterior un hito histórico. Acababan de escuchar la tercera y última conferencia de Andrew Wiles donde demostraba, tras 350 años, el llamado Último Teorema de Fermat (La demostración fue posteriormente corregida tras detectar un pequeño pero poderoso error).

Tranquilos, no perdáis la paciencia. Aunque este problema había traído de cabeza a los matemáticos durante más de tres siglos es sencillo de entender.

Está basado en el Teorema de Pitágoras, el de los triángulos rectángulos (recordad que son aquellos que tienen un ángulo recto o de 90º). Dice que el cuadrado de la hipotenusa (el lado más largo) es igual a la suma del cuadrado de sus catetos (los dos lados más cortos). Escrito como una fórmula es así:

a²+b²=c²

Pitágoras demostró hace 2.500 años que esta ley se cumple siempre. Todos los triángulos rectángulos tienen esta relación entre sus lados. O dicho de otra forma, esta fórmula tiene siempre una solución.

Ocurrió que hace unos 350 años, un alto funcionario francés de Toulouse llamado Pierre de Fermat, que aprovechaba todo el tiempo posible al estudio de los números, anotó en el margen de un libro de matemáticas y junto al teorema de Pitágoras(el libro era “Aritmética” de Diofante, una especie de enciclopedia sobre los conocimientos de la época), algo que ha mantenido en jaque a los mayores genios de la humanidad durante más de 3 siglos.

Este funcionario, Fermat, había ganado fama entre sus contemporáneos (entre otros a Descartes y Pascal) de tener una mente privilegiada, dotada y lúcida para los problemas matemáticos. En vida desarrolló áreas nuevas de las matemáticas como la geometría analítica o la probabilidad. Además era muy desordenado y algo gamberro. Cuando falleció Fermat, su hijo publicó el libro Aritmética con todas las anotaciones realizadas por su padre. Junto al teorema de Pitágoras había anotado:

“Cubum autem in duos cubos, aut quadrato-quadratum in duos quadrato-quadratos, et generaliter nullam in infinitum ultra quadratum potestatem in duos eiusdem nominis fas est dividere cuius rei demonstrationem mirabilem sane detexi. Hanc marginis exigitas non caperet.”

Que el Wikipedia traduce así:

Es imposible dividir un cubo en suma de dos cubos, o un bicuadrado en suma de dos bicuadrados, o en general, cualquier potencia superior a dos en dos potencias del mismo grado;he descubierto una demostración maravillosa de esta afirmación.
Pero este margen es demasiado angosto para contenerla

¿Que significa en realidad este texto enrevesado?

Pierre de Fermat había estado jugando con Pitágoras y pensó sobre que ocurriría si en lugar de elevar al cuadrado los lados del triangulo los elevaba al cubo. O dicho más sencillo cambiar el 2 por el 3. Así la fórmula del teorema de Pitagoras quedaba así:

a³+b³=c³

Y se preguntó ¿hay valores de a, b y c que cumplan la igualdad? ¿y si el 3 lo cambiamos por un 4? ¿y por otro número? La forma matemática de plantearlo es así:

aⁿ+bⁿ=cⁿ

Y “n” puede ser cualquier número natural, el que quieras. El 29 o el 12.000.000.004. Cualquiera.

Fermat, en el margen del libro, decía que no existían valores para a, b y c de entre todos los números si "n" tiene un valor mayor de 2 (si n=2 entonces queda el Teorema de Pitágoras que, recordemos, siempre tiene solución: los lados del triángulo). Si n es mayor que 2 entonces nunca habrá solución para la fórmula.

Y además decía que lo había demostrado de una forma maravillosa pero que no había espacio para escribirla (Hanc marginis exigitas non caperet). Era un gamberro.

Los matemáticos son gente curiosa. Les encantan los enigmas y acertijos. Fermat había dejado el mayor de todos ellos. ¿Es cierto que no existen valores de a,b y c que cumplan la formula

aⁿ+bⁿ=cⁿ? ¿Pudo ser un error de demostración de Fermat? ¿O era una broma de ese francés? y la pregunta más grande ¿Se puede demostrar el Último teorema de Fermat?. Y los matemáticos se entregaron sin éxito durante generaciones a comprobarlo.

La historia de los intentos de demostración de teorema es el guión que sigue el libro “El Enigma de Fermat” de Simon Singh. Es un libro excepcional, buenísimo. El autor, Simon Singh, nos pasea por la historia de las matemáticas, desde Pitágoras a Fermat y de éste a Andrew Wiles de una forma magistral. El hilo conductor del teorema de Fermat le sirve a Singh para enseñarnos como son los matemáticos, como piensan y como viven. No tiene miedo en explicar complejos conceptos matemáticos con sencillos ejemplos, muy intuitivos.

Por ejemplo, los matemáticos tienen una forma de demostrar algo (o no demostrar algo) para todos los números mediante un método que se llama de inducción. Un teorema inventado podría ser asi: si ordenamos los números el primer número es menor que el siguiente y así hasta el infinito. Sería inviable comprobar esto para el 1 y el 2 y el 3... así hasta el infinito, nos ocuparía toda la eternidad.

Pero aquí entra el método de inducción. Singh hace una analogía del método con fichas de dominó. Si primero colocamos en fila todas las fichas (como ordenar los números, del 1 al infinito) y logramos tirar la primera ficha (demostrar que algo, nuestro teorema ficticio, se cumple para el primer número, el 1) si la ficha está bien colocada tirará la siguiente (se demuestra que algo para el 2 también se cumple). Si todas las fichas están a la distancia correcta, tirando la primera caerán todas (analogamente si se cumple algo para el 1 y se puede generalizar para el 2 y el 3 y el... entonces tenemos la seguridad que el teorema que queremos probar se cumple para todos los números).

Pero no sólo eso. Entre sus páginas se encuentran envidias, suicidios, duelos con notas de despedida llenas de fórmulas, revolucionarios maltratados, premios en metálico, creadores de pasatiempos, filósofos, principios de indecibilidad y padres de familia.

Hasta llegar a Andrew Wiles que se encerró durante 10 años para trabajar en secreto en la demostración del Teorema de Fermat. Y lo hizo, desarrollando técnicas innovadoras en matemáticas, demostrando otro teorema, el de Taniyama-Shimura (este es más difícil, os lo perdono. De nada) que por si mismo era de una complejidad mayúscula.

Wiles hizo pública su demostración tras una serie de difíciles charlas con un título poco sugerente que no mencionaba nada de Fermat. Los rumores se extendieron entre los congresistas hasta crear una gran expectación por su última conferencia. En la sala se encontraban los mejores genios matemáticos de la época, incluyendo a los colegas que habían ayudado con su trabajo, sin saberlo, a la resolución del enigma Fermat.

Todos ellos oyeron por primera vez la demostración del mayor enigma matemático de todos los tiempos.

Por eso nadie recuerda de que iba la conferencia de Ken Ribet. Ni siquiera él mismo.

SALUT I MATES!

PD1: Cuando alguien le decía a Carl Sagan que estaba en contacto con seres extraterrestres, Sagan les pedía que preguntaran a los extraterrestres la demostración del último Teorema de Fermat, porque si lo hacían sería una prueba de la existencia de esos seres. Andrew Wiles no ha dicho nada de extraterrestres, que conste.

PD2: No me había dado cuenta del paralelismo entre el nombre del libro “El enigma de Fermat” con otro mucho más conocido que rima con pinki (y del que no hablo, mirad el subtítulo del blog). Este libro de Fermat es muchísimo mejor. Y además todo es cierto. Y mejor escrito. Y más emocionante. Os dejo su referencia completa: “El Enigma de Fermat” de Simon Singh. Colección Booket, editorial Planeta. ISBN 84-08-06572-6.

PD3: Ayer no puse los enlaces de la entrada. Es lo que pasa cuando tu hijo de 6 años insiste en que estés con él. Ya están los links puestos. A disfrutar.

Preguntas matemáticas sin respuesta

(Entrada dedicada a Montse, la única matemática que conozco)

Este pedacito de charla digital sucedió entre Txemi (*) y Adrián Paenza (**) esta semana en la página de “el Pais”:

Pregunta: ¿Las matemáticas se inventan o se descubren? Si se inventan , ¿por qué la matemática es la base de la realidad física y por qué no cobráis derechos de patentes? Y si se descubren... ¿el universo es un pensamiento?

Respuesta: Esa es una pregunta interesantísima. no me siento en condiciones de contestarla. Mi tendencia es a creer que uno va descubriendo en el camino y fabricando surcos, pero hay quienes sostienen que uno la va inventando. Pero en todo caso, ni bien escribo cualquier "intento" de respuesta, siento que no estoy de acuerdo con lo que escribí. Mi respuesta más honesta es : no se que contestar.

(**) Adrián Paenza es un matemático argentino y periodista deportivo (el Carrusel Deportivo debe de ser mucho más sesudo en Buenos Aires) que ha escrito el delicioso libro “Matemática, ¿estás ahí?”. Mediante entradas cortas nos cuenta con fascinación los misterios de los infinitos, la teoria de números, pensamiento lateral, problemas de lógica, Poincaré, Bertrand Russell... Aunque he leído el libro en un par de días, es recomendable detenerse en los problemas y paradojas propuestas (cosa que no hice, lo confieso). No es un libro de paradojas, es un libro de seducción matemática. Mirad la página Juegos de Ingenio para haceros una idea. Por cierto, hay una sorpresa gratis en ella. Buscarla.

(*) Txemi es un agudo internauta.

No es la profunda cuestión sobre las matemáticas (ya que tenéis tiempo para malgastarlo aquí, darle unas vueltas a la pinza) ni la honesta respuesta de Paenza la que me ha llamado la atención (bueno si que me la ha llamado, por eso la he puesto) sino esta mini pregunta:

¿Por qué [los matemáticos] no cobráis derechos de patentes?

No soy experto en patentes pero mi sentido común (no confundir con mi músculo escéptico) me dice que no es posible ahora. Pero al menos fue posible en el pasado. Y si no, al cuento.

El número π (pi) es la relación entre el perímetro y el diámetro de una circunferencia (perímetro / diámetro = π =3,1415926...). Es un número irracional que significa que no se puede formar con un cociente entre números enteros como 22/7 o 1/3. Otra forma de explicarlo es que es un número con infinitos decimales sin ningún patrón que se repita como 1,232323232323.... . π tiene después de la coma infinitos números que se suceden sin repeticiones concretas.

Haz click para ver a π en acción

El valor de π ha ido ganando precisión a lo largo de la historia gracias a la paciencia de los matemáticos y sus avances metodológicos. En la biblia aparece con un valor de 3. Los egipcios 3,1604..., los griegos 3,1416...los persas 3,1415926... Actualmente se usan supercomputadores para ir añadiendo dígitos a π, y ya van por los 1,21 BILLONES de decimales.

(Nota curiosa intermedia: parece que en los decimales de π los números 0,1, 2, ...,7, 8 y 9 aparecen azarosamente y de forma proporcional. Por ello cualquier combinación de números puede aparecer en alguna posición dentro de π. Podéis comprobarlo en esta página que contiene 200.000.000 de decimales. Probar con cualquier número de 7 u 8 cifras como vuestra fecha de nacimiento, teléfono... ¿a que es curioso que nuestro DNI esté contenido en π?)

Con todo esto quiero decir que π es una constante que es imposible de escribir totalmente y que a lo largo de la historia se ha ido precisando su valor, aunque nunca se tendrán todas las cifras.

A finales de siglo XIX hubo un intento de registro en los Estados Unidos de patentar a π. Edward Johnston Goodwin publicó en 1894 publicó un artículo matemático sobre la cuadratura del circulo donde obtenía un valor de π = 3,2. Y lo registró en varios países. Incluso ofreció el registro al Estado de Indiana para que cobrara los derechos derivados del uso del 3,2 (podéis consultar esta y otras curiosas historias matemáticas en DivulgaMAT).

En este punto pregunto yo :¿esto quiere decir que los ingenieros de puentes que usaran π con un valor de 3,2 debían de pagar derechos de autor? ¿Que implicaciones tendría el uso π =3,2 en los edificios, infraestructuras, transporte, satélites, etc? ¿Porque patentar π =3,2 y no π =3,1415926, que se usa más y por lo tanto cobrarían más derechos?.

Y por último¿esto lo sabe la SGAE?

Antes de irme una última cosa. Explorad la página de DivulgaMAT, merece la pena. De ahí he sacado estos dos chistes de matemáticos.

Un ingeniero, un matemático y un físico se van a cazar ciervos. Ven a uno, y el físico dispara primero, fallando a la derecha. Luego dispara el ingeniero, fallando a la izquierda. Entonces le preguntan al matemático que si va a disparar o no.
- No, ¿para qué? Prefiero interpolar.

Una asociación de ganaderos quiere conseguir mejorar una raza de vacas para que den más leche, y reúnen a varios científicos y los asignan en grupos independientes para que busquen varias soluciones, y luego adoptar la de mayor rendimiento.
Al cabo de un plazo preestablecido, empiezan a leer los resultados:

• Unos criadores de ganado proponen un plan de cruzamientos, y basándose en experiencias anteriores se comprometen a lograr una mejora del 3%.

• El grupo de ingenieros genéticos propone introducir ciertos genes que deberían mejorar la productividad un 10%.

• Un equipo de veterinarios propone unas modificaciones en los establos que harían que las vacas fuesen más felices, y producirían un 2% más de leche, que habría que sumar a las anteriores mejoras.

• Otro equipo propone un cambio de dieta que mejoraría el rendimiento en un 7%, otros quieren suministrar hormonas a las vacas para subir un 8%.

• Entonces aparece el equipo de los matemáticos, que dicen que son capaces de mejorar la producción en un 300%.

Todo el mundo se pone muy contento con los matemáticos, y se apresuran a leer el proyecto, que empieza diciendo: "Sea una vaca esférica..."

SALUT I PI!

El primo más grande (no soy yo)

Aar, arf...

Hola a todos, queridos lectores y hola a todas, queridas lectoras. Vengo corriendo para contaros una noticia bomba: Se ha encontrado al primo más grande (y para decepción vuestra, no soy yo).

Ocurrió hace un mes, exactamente el 4 de septiembre y lo hicieron los Doctores Curtis Cooper y Steven Boone de la Universidad Central de Missouri. Han encontrado el número más grande conocido que sólo se puede dividir entre1 y el mismo sin que queden decimales.

Con ustedes ... el primo más grande hasta ahora conocido. El ganador es...

12457, luego vienen 9.808.348 números y acaba en 67871

Es decir, ¡Tiene 9.808.358 cifras! El archivo txt con todas las cifras ocupa 9,35 megas!

Más concretamente ese número es el 44 primo de Mersenne, un tipo específico de números primos (sí, hay tipos de números primos, otros ejemplos son los números primos de Fermat o los de Sophie Germain) y se escribe de una forma más cómoda M32.582.657.Marin Mersenne fue un filósofo frances del siglo XVII, que se carteaba con ilustres como Huygens, Galileo, Descartes, Fermat (sí el otro de los números primos)... Después de enseñar teología y filosofía investigó en las matemáticas. Se llaman en su honor números primos de Mersenne aquellos que

M_n = 2ⁿ − 1

siendo n primo. ..(je je, tranquilos, yo no lo entiendo tampoco).

Hasta el momento se conocen 44, el último es este. Podeis ver una tabla con todos los primos de Mersenne aquí.

Como los números primos son usados para la encriptación de datos, y cuanto más grande el número mejor, hay una iniciativa en internet, usando voluntarios un software específico, para encontrar a los números primos de Mersenne aún más grandes todavía. Se llama Great Internet Mersenne Prime Search (GIMPS para los amigos) y podeis apuntaros para ayudar a buscar más primos.

Yo por si acaso no saldré este fin de semana por Missouri.

SALUT PRIMOS!

NOTA: Si os entra curiosidad por los primos os recomiendo esta página de Astroseti. Y si quereis saber más, preguntar a vuestra familia.

Festivales, notas e irracionales (o como funciona una guitarra)

Ya lo tengo en mi mano. El abono para el Primavera Sound 2006.

Los que me conocéis sabéis que soy habitual en festivales de Rock and Roll (bueno sin exagerar, uno al año, con suerte a dos o incluso a tres). La mayoría de años he acampado con lo más duro de la piel de toro en Móstoles para disfrutar del Festimad (y de mi colega Jose. Jose, un saludo!), aunque he visitado tres veces el FIB además de POP's, BAM's, etc. La experiencia infernal en el Festimad 2005 (sólo las bandas se salvaron de la pésima organización. Inolvidable System of a Down entre ambiente de revuelta. En este video podéis ver un resumen de 7 minutos) me ha llevado ha castigarles sin mi presencia ni mi dinero. Y me quedo en casita, en el Primavera Sound.

Este es el (doblemente) estupendo cartel del Primavera Sound
en un pirulo de las Ramblas de Barcelona

Algunos os podríais preguntar “Que moral! Que le verá a estas cosas !Y a su edad!” y acto seguido enumerar todos los inconvenientes de estos eventos: dormir en tiendas, lavabos sucios, comida mala, ruido, todo carisimo, imposibilidad de ver todos los conciertos por coincidencia de hora...

Bueno, es sencillo. Hay dos razones. Una: me gusta la música y su ambiente. Dos: Es lo más adecuado que puede hacer un tipo tan “racional” como yo. Intentaré demostrarlo.

Ambiente guapetón del Festimad 2005

ATENCIÓN ATENCIÓN
Breve explicación física y matemática. No asustarse. No desanimarse. No causa efectos secundarios.

Sabéis que el sonido es en realidad una vibración, un movimiento oscilatorio. Podéis comprobarlo con una cuerda, estirándola, manteniendo la tensión y haciéndola vibrar con el dedo. El tipo de sonido que hace, su frecuencia o como se dice en música su nota, dependerá (entre otras cosas pero básicamente) de la longitud de la cuerda. La frecuencia es el número de veces que se mueve la cuerda. Si esa cuerda, por casualidad, vibrara exactamente 264 veces por segundo producirá un sonido identificado y reconocible como DO (que casualidad!).

Ahora imaginad esa cuerda en una guitarra con un mástil extensible. Si duplicásemos la longitud del mástil (y de la cuerda aunque manteniendo la tensión pero no quiero liaros), produciría la misma nota DO pero más grave, más baja. Eso se llama un cambio de octava. Modificando la longitud de la cuerda obtendríamos diferentes sonidos. Y si lo hacemos guardando esta relación:

• Do:1
• Re:8/9
• Mi: 68/81
• Fa: 3/4
• Sol: 2/3
• La: 16/27
• Si: 128/243
• Do: 1/2

obtenemos la escala pitagórica diatónica.
(Los pitagóricos, esa escuela filosófica de la Grecia clásica con ideas geniales junto a otras muy extravagantes, consideraban a la música una parte de las matemáticas. Observaron como las notas que correspondían al la octava, quinta y cuarta de la longitud de una cuerda sonaban armonicamente).

En realidad nuestra escala, llamada escala cromática, es algo diferente. La distancia (su frecuencia, vamos) entre un Do y siguiente se divide en 12 partes obteniendo esta escala:

• Do: 2
• Do sostenido: 11/12
• Re: 10/12
• Re sostenido: 9/12
• Mi: 8/12
• Fa: 7/12
• Fa sostenido: 6/12
• Sol: 5/12
• Sol sostenido: 4/12
• La: 3/12
• La sostenido: 2/12
• Si: 1/12
• Do: 1

El firmante reflexionando sobre la escala diatónica pitagórica y
con hierba hasta las orejas (¿lo pillais?)

Pues las proporciones de las dos escalas, esos quebrados o fracciones son números racionales como se conocen en matemáticas. Son los que se pueden expresar con una fracción de dos números enteros. La música se basa en ellos.

En contraposición, los números irracionales son números que no pueden expresarse como una fracción. Un ejemplo es el número pi (3,1415...infinitos números sin periodicidad alguna), el número e y el número aureo (pi y e son números trascendentes. ¡Trascendente, son geniales los matemáticos poniendo nombres!).

Si Pitágoras intentara encontrar la nota correspondiente a pi, no podría determinarla al no ser posible transcribirla como fracción (a diferencia de 1/3 que es 0,33333...infinito, siempre es tres).

Es decir, la música basada en números irracionales sería bastante extraña y muy poco afinada (*).

Por lo tanto, la musica basada en números racionales es racional. Justo donde he de estar yo. ¿cuela como razón para ir ? Probarlo en casa y quedamos en el Primavera Sound.

(*) Ahora que lo releo creo que la música que me gusta es así. ¿tendrán razón mis críticos? Bueno, ya tengo el abono. Tendré que vivir con mis contradicciones. Y con las suyas.

SALUT!

Enlaces consultados:

La escala diatónica:
http://www.anarkasis.com/pitagoras/051_diatonica/

La escala cromática:
http://www.anarkasis.com/pitagoras/052_matematica/

Música y matemáticas:
http://www.elementos.buap.mx/num44/htm/21.htm

La música y las matemáticas:
http://www.musicaperuana.com/espanol/mm.htm

PD: Que se preparen en el FIB!